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Universidade Lusófona

Análise Funcional

Curso

Matemática (D)

Grau|Semestres|ECTS

Doutoramento | Semestral | 8

Ano | Tipo de unidade curricular | Lingua

1 |Obrigatório |Português

Total de horas de Trabalho | Tempo de Contacto (horas)

190 | 45

Código

ULHT484-8593

Disciplinas complementares recomendadas

Não aplicável

Pré-requisitos e co-requisitos

Não aplicável

Precedências

Não

Estágio profissional

Não

Conteúdos Programáticos

1-Espaços Vectoriais Topológicos
Propriedades de separação. Metrização. Convexidade local. Seminormas.
2-Completude
Teorema de Baire. Espaços de Banach. Teorema do mapa aberto. Teorema do gráfico fechado.
3-Convexidade
Teoremas de Hahn-Banach. Topologias fracas. Teorema de Banach-Alaoglu.
4-Dualidade
Dual de um espaço normado. Espaços reflexivos. Operadores adjuntos.
5-Espaços de Hilbert
Espaços separáveis. Complementos ortogonais. Desigualdade de Bessel. Séries de Fourier. Conjuntos ortonormados totais. Relação de Parseval. Teorema de Riesz. Operadores adjuntos, auto-adjuntos e unitários.
6-Distribuições
Espaços de funções teste. Distribuições. Distribuições como derivadas. Convolução.
7-Transformadas de Fourier
Definição e propriedades. Teorema da inversão de Fourier. Transformadas de Fourier de distribuições temperadas. Teoremas de Paley-Wiener.
8-Espaços de Sobolev
Definição e propriedades. O espaço dual. Espaços de Sobolev de índice real. A transformada de F

Objetivos

O objectivo da disciplina é o de dar uma base sólida em Análise Funcional, tendo em vista a aplicação a outras áreas como a física-matemática, as equações diferenciais, optimização, análise harmónica e outras.

Conhecimentos, capacidades e competências a adquirir

Pretende-se que o aluno domine os conceitos de espaços vectoriais topológicos, completude, Espaços de Banach e de Hilbert, distribuição, transformada de Fourier e espaço de Sobolev.

Metodologias de ensino e avaliação

As aulas são expositivas. São frequentemente apresentados exemplos que ilustrem conceitos e teoremas. Também se propõe aos alunos a construção de exemplos e contra-exemplos. A maior parte das demonstrações são feitas em linhas gerais, deixando a cargo dos alunos a justificação e aprofundamento de detalhes técnicos.
Procura-se, sempre que possível, motivar as definições e teoremas com situações e exemplos concretos que sejam familiares aos alunos.
A avaliação resulta de um trabalho escrito com apresentação oral e de uma prova escrita.

Bibliografia principal

- W. Rudin, ¿Functional Analysis¿, McGraw-Hill, 1973.
- E. Kreyszig, ¿Introductory Functional Analysis with Applications¿, Wiley, 1978.
- G. Grubb, ¿Distributions and Operators¿, Springer, 2009.
- F. Riesz, B.Sz.-Nagy, ¿Functional Analysis¿, Dover, 1955.