Disciplina Álgebra Abstrata

Esta Unidade Curricular pretende fornecer uma formação sólida nos fundamentos da Álgebra Abstrata, com especial enfoque no estudo de estruturas algébricas como anéis, corpos, grupos e aplicações elementares a grafos. Estes conceitos constituem a base teórica de inúmeras áreas da matemática e da ciência da computação, nomeadamente na criptografia, na teoria de códigos, no estudo de simetrias e na modelação algébrica de problemas computacionais. Esta UC assume um papel fundamental na formação de base dos estudantes nas áreas da Matemática e da Informática, providenciando ferramentas indispensáveis para a compreensão de disciplinas mais avançadas, como a álgebra computacional, a geometria algébrica, a teoria da computação ou a segurança da informação. Além disso, estimula o pensamento abstrato e estruturado, essencial para a resolução de problemas complexos tanto em contextos académicos como profissionais.

Não aplicável

Lista dos conteúdos Números, polinómios e fatorização Aritmética nos inteiros: divisibilidade, máximo divisor comum, algoritmo de Euclides Polinómios com coeficientes em inteiros, racionais e corpos finitos Fatorização de polinómios e critério de irreducibilidade Anéis, domínios e corpos Definição de anel, domínio de integridade e corpo Domínios euclidianos, principais e fatoriais Extensões de corpos e corpos de frações Homomorfismos de anéis e ideais Homomorfismos e isomorfismos de anéis Núcleo e imagem Ideais e ideais principais Anéis quocientes Teorema dos homomorfismos Introdução à teoria de grupos (ênfase em grupos de matrizes) Grupos, subgrupos, elementos inversos Grupos de permutações e grupos de matrizes (GL(n), SL(n)) Ordem de um grupo e de um elemento Subgrupos gerados, classes laterais Teorema de Lagrange Homomorfismos de grupos e grupos quociente Ações de grupos e aplicações Introdução a grafos e modelação algébrica Criptografia baseada em corpos finitos Softwares de AA

Serão utilizadas metodologias ativas e participativas, como a resolução colaborativa de problemas, a utilização de software de álgebra computacional (por exemplo, SageMath) e a integração de aplicações reais em ciência da computação. O uso de simulações digitais permitirá consolidar os conteúdos de forma prática e contextualizada, promovendo a autonomia e o pensamento crítico dos estudantes.

Gonçalves, Adilson - Introdução à Álgebra. Edição: 6. Publicação: IMPA, 2017. Páginas: 192. ISBN: 978-85-244-0430-6. West, D. B. (2001). Introduction to graph theory (Vol. 2, pp. 1-512). Upper Saddle River: Prentice hall.